Странно работает Яндекс Почта

Я бы рекомендовала посмотреть настройки приложений, а также контроль активности приложений. Возможно, вы запретили фоновую работу Яндекс. Почты, поэтому когда телефон выключен или приложение "выкинуто" из списка последних и полностью остановлено - у него нет доступа к интернету, а значит и уведомления о новых письмах приходить не будут.

Чтобы открыть контроль активности, вам необходимо выполнить следующее:

Настройки → Батарея и производительность → Контроль активности → Яндекс. Почта.